Ezt az anyagot úgy építettem fel, hogy a hallgató előbb a művelet mechanikáját lássa, utána értse meg, miért éppen ez írja le egy lineáris időinvariáns rendszer válaszát. A központi mondat: a konvolúció minden olyan bemeneti és impulzusválasz-minta hozzájárulását összeadja, amely ugyanahhoz a kimeneti időponthoz tartozik.
Egy lineáris időinvariáns rendszer kimenete nem feltétlenül csak az aktuális bemenettől függ. A kimenetben megjelenhetnek korábbi bemeneti minták is. A konvolúció ennek az „emlékezetnek” a könyvelése.
A kimenet n időpontjában az összes olyan párt kell figyelembe vennem, amelynek indexei összeadva n-et adnak. Ha a bemeneti minta indexe k, akkor a hozzá tartozó impulzusválasz-minta indexe n-k. Ezért szerepel a képletben x[k]h[n-k].
Itt minden k-ra kiszámolom, hogy a bemenet x[k] mennyivel járul hozzá az n-edik kimeneti mintához. Végül összeadom a hozzájárulásokat.
Az összeg helyett integrál van. A τ csak futóváltozó: végigpásztázza az összes lehetséges bemeneti időpontot, miközben t rögzített kimeneti időpont.
A csúszkával válassz egy kimeneti indexet. Az ábrák azt mutatják, hogyan számolom ki az adott y[n] értéket: x[k], az aktuális h[n-k], a pontonkénti szorzat, majd a teljes kimenet.
| k | x[k] | h[n−k] | szorzat |
|---|
Legyen x(τ)=1 a [0,1] intervallumon, és legyen h(τ)=1 szintén a [0,1] intervallumon. Ekkor h(t-τ)=1, ha τ∈[t-1,t]. Az integrál tehát az átfedési hossz.
Diszkrét időben a bemenet impulzusokra bontható:
Ha a rendszer lineáris, akkor a skálázott impulzusokra adott válaszok skálázva összeadódnak. Ha időinvariáns, akkor a δ[n-k] impulzusra adott válasz az alap impulzusválasz k-val eltolt változata: h[n-k]. Ezért:
A képlet tehát nem önkényes algebrai konstrukció. A linearitás és az időinvariancia közvetlen következménye.
Nem. A konvolúció pontonkénti szorzatok összege vagy integrálja. A pontonkénti szorzat csak egy köztes lépés.
Nem. A kimeneti időpontot rögzítem. Diszkrét esetben k, folytonos esetben τ fut végig.
Nem. Az impulzusválaszt előbb fordított argumentummal kell venni: h[n-k] vagy h(t-τ).
Véges tartójú jeleknél nincs átfedés esetén a szorzat mindenhol nulla, tehát a konvolúció is nulla.
Nem ugyanaz a művelet. A konvolúció az k+(n-k)=n indexösszeghez kötött; a korreláció hasonlóságot mér eltolás függvényében.
LTI-rendszernél az impulzusválasz lényegében teljesen meghatározza a rendszer bemenet-kimenet viselkedését.
x*h=x. Az egységimpulzus a konvolúció egységeleme.
Az eredmény minden t-nél az átfedési hossz. Az átfedés először lineárisan nő, majd lineárisan csökken.
Ha x tartója [a,b], h tartója [c,d], akkor x*h tartója legfeljebb [a+c,b+d].
A τ futóváltozót. A t a kiválasztott kimeneti időpont, amely az adott integrál kiszámításakor rögzített.
Mert közvetlenül kapcsolódik az LTI-rendszer definíciójához: a linearitás engedi az összegzést, az időinvariancia engedi az impulzusválasz eltolását.