FIR szűrő algoritmusa

1. A lényeg egy mondatban

A FIR szűrő minden kimeneti mintát a jelenlegi és néhány korábbi bemeneti minta súlyozott összegeként állít elő.

A „FIR” rövidítés jelentése Finite Impulse Response, azaz véges impulzusválasz. Ha a bemenetre egy egységimpulzust adunk, akkor a kimenet csak véges számú mintán keresztül nem nulla. Ez lényegében azért van, mert a képletben csak véges számú együttható szerepel.

2. Matematikai képlet

Egy M hosszú FIR szűrő általános, kauzális alakja:

Rövidebben összegzéssel:

Konvolúciós nézőpontból a FIR szűrő kimenete a bemenet és az impulzusválasz konvolúciója:

Kritikusan fontos különbséget tenni: a konvolúciós képlet elméleti leírás, a FIR algoritmus pedig ennek közvetlen számítógépes vagy hardveres végrehajtása.

3. Algoritmus lépésenként

Az algoritmus minden új bemeneti mintára ugyanazt a műveletsort hajtja végre.

1. Beérkezik az új minta: legyen ez x[n].
2. A korábbi minták egy hellyel hátrébb tolódnak: a rendszer megőrzi x[n-1], x[n-2], ... értékeket.
3. Szorzások: minden eltárolt minta megszorzódik a hozzá tartozó együtthatóval.
4. Összegzés: a szorzatokat összeadjuk.
5. Megkapjuk az aktuális kimenetet: az összeg lesz y[n].

for each new sample x[n]:
    delay[0] = x[n]
    y[n] = 0
    for k = 0 ... M-1:
        y[n] = y[n] + b[k] * delay[k]
    shift delay line to prepare for next sample

4. Blokkdiagram: késleltetések, szorzók, összegző

A FIR szűrő klasszikus szerkezete egy késleltetőlánc és több leágazás. A z⁻¹ elem egy mintányi késleltetést jelent.

Az ábra alapján az elnevezések is természetesek: az együtthatókat sokszor tap-eknek, a mintákat tároló láncot pedig delay line-nak nevezik.

5. Implementáció: egyszerű tömb és körpuffer

// b: FIR együtthatók
// delay: korábbi minták
function firStep(x_new):
    for k = M-1 downto 1:
        delay[k] = delay[k-1]
    delay[0] = x_new

    y = 0
    for k = 0 to M-1:
        y += b[k] * delay[k]
    return y

function firStep(x_new):
    writeIndex = (writeIndex - 1 + M) mod M
    buffer[writeIndex] = x_new

    y = 0
    index = writeIndex
    for k = 0 to M-1:
        y += b[k] * buffer[index]
        index = (index + 1) mod M
    return y

Számítási igény

6. Kézi számolási példa

Legyen egy hárompontos mozgóátlag-szűrő:

Ez az aktuális és az előző két mintát átlagolja:

Ha x = [3, 6, 9, 6, 3], és a hiányzó múltbeli mintákat nullának vesszük, akkor:

Ez a példa jól mutatja, hogy a mozgóátlag simít: a gyors változásokat mérsékli, de cserébe időbeli elkenést is okoz.

7. Interaktív demó

A demóban a bemeneti mintasorozat és a FIR együtthatók módosíthatók. Az ábra az aktuális lépésnél kiemeli, mely minták vesznek részt y[n] kiszámításában.

8. Tipikus hallgatói hibák